クラス名をrenameするときは、変更したいクラス名にカーソルを合わせて
「シフト(⬆️)+F6」を押す(macの場合)と、
このようなダイアログが出現しますので、変更したいクラス名を入力して「Refactor」ボタンを押します。
変更すべき箇所(statefulWidgetのstate関連の箇所など)を全て自動的に変更してくれますので、この方法でリネームした方が良いです。
ただ、ファイル名のリネームまでは自動でしてくれませんので、ファイル名をクラス名に基づいて作成している場合、ファイル名のリネームをする必要があります。
ファイル名のリネームは、リネームしたいファイルを選択し、右クリックし、
「Refactor」>>「Rename」
を選択し、出てきたダイアログでファイル名を入力し、「Refactor」ボタンを押します。
そうすると、
下部にこのようなペインが出現しますので「Do Refactor」ボタンを押すとファイルがリネームされます。